电动力学之作业2

1．请同学们求解一个电流为 $I$ 的圆形小线圈在 $\vec{R}$ 处所产生的矢量势 $\vec{A}$ 及相应的磁感应强度 $\vec{B}$ ；进一步讨论不同位置处的磁感应强度 $\vec{B}$ 。

记线圈的半径为$a$, $\vec{n}$为$z$轴方向单位矢量

$$\vec{m} = I \pi a^2 \vec{n}$$ $$\begin{align} \vec{A} = & \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{m}\times\vec{R}}{R^3} =& \frac{\mu_0 Ia^2}{4R^2}\vec{n}\times\vec{e}_R \\ =& \frac{\mu_0 Ia^2}{4R^2}(-\sin \theta \vec{e}_{\theta}+\cos\theta\vec{e}_R)\times\vec{e}_R\\ =& \frac{\mu_0 Ia^2}{4R^2} \sin\theta \vec{e}_\phi \end{align}$$ $$\begin{align} \vec{B} = \nabla \times \vec{A}& =\frac{1}{R^2\sin\theta}\left|\begin{array}{lll} \vec{e}_R & \vec{e}_\theta R & \vec{e}_\phi R\sin\theta \\ \frac{\partial}{\partial R} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\ 0 & 0& \frac{\mu_0 Ia^2}{4R} \sin^2\theta \end{array}\right| \\ & = \frac{\mu_0 Ia^2}{4R^3}(\vec{e}_R 2\cos\theta+\vec{e}_\theta\sin^2\theta) \end{align}$$

轴线上, $\theta = 0, \vec{e}_R = \vec{n}$

$$\vec{B} = \frac{\mu_0 Ia^2}{2R^3}\vec{n}$$

在面$xOy$上, $\theta = \frac{\pi}{2}, \vec{e}_\theta =- \vec{n}$

$$\vec{B}= -\frac{\mu_0 Ia^2}{4R^3}\vec{n}$$

2．根据我们的讨论，孤立导线段 $a b$ 以速度 $\vec{v}$ 在恒定磁场中运动时所产生的动生电动势可以写为：$\varepsilon=\int_a^b(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d \vec{l}$ 。然而，我们知道洛伦兹力是不做功的。那么，对比电源电动势（束源于非静电力做功，同时伴随着非静电能向电能的转换），定性分析一下这种情况下形成电动势的非静电能的来源。

为了克服安培力, 使得导线段保持匀速运动, 必须有外力$\vec{F}$作用于导线段. 非静电能源于$\vec{F}$做的功.

1．沿轴均匀极化的电介质圆棒，棒长为 $2 l$ ，半径为 $R$ ，极化强度矢量为 $P$ ，求极化电荷的分布以及体内轴线上任意一点的退极化场，并讨论当 $l$ 趋于无限大时的结论。

设
$
\vec{P} = P\hat{z}
$

$
\rho_V = -\nabla \cdot \vec{P} = 0
$

$
\sigma {up} = \vec{P} \cdot \hat{z} = P, \sigma{down} = \vec{P}\cdot\hat{z}= -P
$

$$\begin{align} \vec{E}_{up} = & \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int^{R}_{0}dr\int^{2\pi}_{0}rd\theta\frac{P}{(z-l)^2+r^2}\frac{z-l}{\sqrt{(z-l)^2+r^2}}\hat{z}\\ = & \frac{P(z-l)}{4\varepsilon}\int^{R^2}_{0}dt\frac{1}{((z-l)^2+t)^{\frac{3}{2}}}\hat{z}\\ = & -\frac{P(z-l)}{2\varepsilon}\frac{1}{\sqrt{t+(z-l)^2}}|^{R^2}_{0}\hat{z}\\ = & -\frac{P(z-l)}{2\varepsilon}(\frac{1}{\sqrt{R^2+(z-l)^2}}-\frac{1}{\sqrt{(z-l)^2}})\hat{z} \end{align}$$

同理,

$$\begin{align} \vec{E}_{down} = & \frac{P(z+l)}{2\varepsilon}(\frac{1}{\sqrt{R^2+(z+l)^2}}-\frac{1}{\sqrt{(z+l)^2}})\hat{z} \end{align}$$

由叠加原理,

$$\vec{E} =\hat{z} \frac{P}{2\varepsilon}[\frac{z+l}{\sqrt{R^2+(z+l)^2}}-\frac{z-l}{\sqrt{R^2+(z-l)^2}}-2]$$

$l\rightarrow\infty, \vec{E}\rightarrow0$.

2．内外半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$ ，的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀的自由电流密度 $J_f$ ，导体的磁导率为 $\mu$ ，求磁感应强度和磁化电流。

分三个区域使用安培环路定理:

1. $r<r_1$
   无自由电流, $\vec{B}=\vec{0}$

2. $r_1<r<r_2$

$$H_\phi 2 \pi r=J_f \pi\left(r^2-r_1^2\right)$$ $$\vec{B}=\mu \vec{H}=\mu \frac{J_f}{2}\left(r-\frac{r_1^2}{r}\right) \hat{\phi}$$

1. $r>r_2$

$$H_\phi 2 \pi r=J_f \pi\left(r_2^2-r_1^2\right)$$ $$\vec{B}=\mu_0 \vec{H}=\mu_0 \frac{J_f}{2} \frac{r_2^2-r_1^2}{r} \hat{\phi}$$

下面求磁化电流

$$\vec{M} = \frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{H}=(\frac{\mu}{\mu_0}-1)\frac{J_f}{2}\left(r-\frac{r_1^2}{r}\right) \hat{\phi}$$

$
r_1<r<r_2
$

$$\begin{align} \vec{J} = \nabla \times \vec{M} & = \frac{1}{r}\left|\begin{array}{lll} \vec{e}_r & \vec{e}_\phi r & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & (\frac{\mu}{\mu_0}-1)\frac{J_f}{2}\left(r^2-r_1^2\right) &0 \end{array}\right| \\ & = \vec{e}_z (\frac{\mu}{\mu_0}-1)J_f \end{align}$$

$r=r_1$

$$\vec{M}(r_1) = \vec{0}, so ~\vec{K}_1 = \vec{0}$$

$r=r_2$

$$\vec{K}_2 = \vec{M}(r_2)\times \hat{r} = - \hat{z}(\frac{\mu}{\mu_0}-1)\frac{J_f}{2}\left(r_2-\frac{r_1^2}{r_2}\right)$$