1、据关系式 $\vec{A} \times \vec{B}=\varepsilon_{i j k} \vec{e}_i A_j B_k$ 或矢量叉乘性质，证明：
$$
\vec{A} \times[\vec{B} \times(\vec{C} \times \vec{D})]=\vec{B}[\vec{A} \cdot(\vec{C} \times \vec{D})]-(\vec{A} \cdot \vec{B})(\vec{C} \times \vec{D})
$$
令$\vec{C}\times\vec{D} = \vec{E}$
$$
\begin{align}
\vec{A} \times[\vec{B} \times(\vec{C} \times \vec{D})]
& = \vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{E})-\vec{E}(\vec{A}\cdot\vec{B})\
& = \vec{B}(\vec{A}\cdot(\vec{C}\times\vec{D}))- (\vec{A}\cdot\vec{B})(\vec{C}\times\vec{D})
\end{align}
$$
2、假设 $\vec{A}=\frac{\vec{r} \times \vec{n}}{r(r-\vec{r} \cdot \vec{n})}$ ，其中 $\vec{r}$ 为位矢，$\vec{n}$ 为与位矢无关的单位矢量。证明 $\vec{B}=\nabla \times \vec{A}=\frac{\vec{r}}{r^3}$ 。
$\vec{A}$是 #磁单极子 在某种规范下的矢势. 用球坐标算应当最有性价比. 不妨使$\vec{n}$与$z$轴同向.
$$
\begin{align}
\vec{A} & =\frac{\vec{r} \times \vec{n}}{r(r-\vec{r} \cdot \vec{n})}\
& = \frac{- \sin \theta \vec{e_{\phi}}}{r(1-\cos \theta)}
\end{align}$$
$$
\begin{align}
(\nabla \times \vec{A})_r & = \frac{1}{r\sin \theta}(\frac{\partial}{\partial \theta}(\frac{\sin^2 \theta}{r(\cos \theta -1)}))\
& = \frac{1}{r^2}
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
(\nabla \times \vec{A})_{\theta} = 0
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
(\nabla \times \vec{A})_{\phi} = 0
\end{align}
$$
$$
\vec{B} = \frac{1}{r^2} \hat{\vec{r}}
$$
3、假设 $\vec{A}(\vec{r})=\overrightarrow{A_0} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$ ，其中 $\overrightarrow{A_0} 、 \vec{k}$ 为与位矢 $\vec{r}$ 无关的常矢量，计算 $\nabla \times(\nabla \times \vec{A}), \nabla(\nabla \cdot \vec{A})$ 和 $\nabla^2 \vec{A}$ ，并验证对于这几种情形是否可以仿照 $\nabla \cdot \vec{A}$ 和 $\nabla \times \vec{A}$ 的计算做替换 $\nabla \rightarrow i \vec{k}$ 。
1.
$$
\begin{align}
\nabla \times(\nabla \times \vec{A}) & = \nabla\times(i\vec{k}\times\vec{A_0}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}})\
& = i (\vec{A}\cdot\nabla)\vec{k} - i(\vec{k}\cdot\nabla)\vec{A}+i\vec{k}(\nabla\cdot\vec{A})-i\vec{A}(\nabla\cdot\vec{k})\
& = k^2\vec{A} - \vec{k}(\vec{k}\cdot\vec{A})
\end{align}
$$
直接替换:
$$
\begin{align}
\nabla \times(\nabla \times \vec{A}) & = i\vec{k}\times(i\vec{k}\times\vec{A})\
& = i\vec{k}(\vec{A}\cdot i \vec{k})+k^2\vec{A}
\end{align}
$$
结果一样, 可以直接替换
2.
$$
\begin{align}
\nabla(\nabla\cdot\vec{A})
& = \nabla(i\vec{k}\cdot\vec{A_0}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \
& =(i\vec{k}\cdot\nabla)\vec{A} + (\vec{A}\cdot\nabla)i\vec{k}+i\vec{k}\times(\nabla \times\vec{A})+\vec{A}\times(\nabla\times i\vec{k})\
& = -k^2\vec{A} + i\vec{k}\times(i\vec{k} \times\vec{A})\
& = -k^2\vec{A}+i\vec{k}(i\vec{k}\cdot\vec{A})-\vec{A}(i\vec{k}\cdot i\vec{k})\
& = i\vec{k}(i \vec{k}\cdot\vec{A})
\end{align}
$$
可以直接替换
3.
$$
\begin{align}
\nabla^2\vec{A}
& = \nabla (\nabla \cdot\vec{A}) - \nabla\times(\nabla\times\vec{A}) \
& = i\vec{k}(i\vec{k}\cdot\vec{A}) - i\vec{k}(i\vec{k}\cdot\vec{A}) - k^2 \vec{A}\
& = -k^2 \vec{A}
\end{align}
$$
可以直接替换
tip
注意, $\nabla^2 \vec{A}= \nabla \cdot (\nabla \vec{A})$
务必与$\nabla(\nabla\cdot\vec{A})$区别开!
1．已知基态氢原子的电子电荷体密度分布 $\rho(R)=-\frac{e}{\pi a^3} e^{-2 R / a}$ ，其中 $-e$ 为电子电荷量，$a$ 为玻尔半径，$R$ 表示电子电荷分布位置与氢核（即质子）之间的距离。试求：
1）电子电荷分布在 $R$ 处产生的电场强度 $\vec{E}_e$ 和电势 $\varphi_e$ ；
高斯定理:
$$
\begin{align}
\int_{\partial V} \vec{E_e} \cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int^{}_{V} \rho dV
\end{align}
$$
利用球对称性改写为:
$$
\begin{align}
|\vec{E_e}|4\pi R^2 & = - \frac{1}{\varepsilon_0} \int^{R}_{0} 4 \pi x^2 \frac{e}{\pi a^3}e^{-2x/a}dx \
& = -\frac{4e}{a^3\varepsilon_0}(-\frac{a}{2} R^2 e^{-2 R / a}-\frac{a^2}{2} R e^{-2 R / a}-\frac{a^3}{4} e^{-2 R / a}+\frac{a^3}{4})
\end{align}
$$
$$\vec{E_e} = \frac{e\hat{\vec{r}}}{4 \pi\varepsilon_0R^2}(\frac{2R^2}{a^2} e^{-2 R / a}+\frac{2R}{a} e^{-2 R / a}+ e^{-2 R / a}-1)$$
幂乘e
设 $\lambda > 0$，则： $$\boxed{ \int_0^R r^n e^{-\lambda r} dr = \frac{n!}{\lambda^{n+1}} - e^{-\lambda R} \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} \frac{R^k}{\lambda^{n-k+1}} \quad (n \in \mathbb{N}) } $$
$$\begin{align}
\varphi_e & = - \int^{R}{\infty} \vec{E_e}\cdot d\vec{l} \
& = \int^{\infty}{R}dx \frac{e}{4 \pi\varepsilon_0x^2}(\frac{2x^2}{a^2} e^{-2 x / a}+\frac{2x}{a} e^{-2 x / a}+ e^{-2 x / a}-1) \
& = \frac{e}{4 \pi \varepsilon_0}[\int^{\infty}_{R}\frac{2}{a^2}e^{-2x/a}dx
- \int^{\infty}{R}(\frac{2}{ax} e^{-2 x / a}+ \frac{1}{x^2}e^{-2 x / a})dx-\int^{\infty}{R}\frac{1}{x^2}dx]\
& = \frac{e}{4 \pi \varepsilon_0}
(\frac{1}{a}e^{-2R/a} + \frac{1}{R}e^{-2R/a} - \frac{1}{R} )
\end{align}$$
2）整个基态氢原子的总电场强度 $\vec{E}$ 和总电势 $\varphi$ 分布。
利用叠加原理. 原子核的电场强度为$\vec{E_c}$, 电势为$\varphi_c$
$$
\begin{align}
\vec{E_c} & = \frac{e}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{R^2} \hat{\vec{r}}\
\varepsilon_c & = \frac{e}{4\pi \varepsilon_0 } \frac{1}{R}
\end{align}$$
$$\vec{E} = \frac{e\hat{\vec{r}}}{4 \pi\varepsilon_0R^2}(\frac{2R^2}{a^2} e^{-2 R / a}+\frac{2R}{a} e^{-2 R / a}+ e^{-2 R / a})$$
$$\begin{align}
\varphi
& = \frac{e}{4 \pi \varepsilon_0}
(\frac{1}{a}e^{-2R/a} + \frac{1}{R}e^{-2R/a} )
\end{align}$$
2．如图所示，半径为 R 的均匀带电半球面，电荷面密度为 $\sigma$
1）求解球心处的电场强度 $\vec{E}$
由对称性, 水平分量抵消. 仅垂直分量有效.
$$\begin{align}
\vec{E} & = -\hat{\vec{z}}\int^{}{S}dS \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\sigma}{R^2}\
& = -\frac{\hat{\vec{z}}\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\int^{2\pi}{0}d\phi\int^{\frac{\pi}{2} }_{ 0}d\theta\sin\theta\cos\theta\
& = -\frac{\hat{\vec{z}}\sigma}{4\varepsilon_0}
\end{align}$$
2）如果是八分之一球面，求解球心处的电场强度 $\vec{E}$
半球面由4个1/8球面组成.
由对称性, 4个1/8球面的$\vec{E}$分别与$\pm\hat{\vec{x}}\pm\hat{\vec{y}}+\hat{\vec{z}}$平行, 且大小相等.
利用上一问的结论.
$$
\vec{E} = -\frac{\sigma}{16\varepsilon_0}(\hat{\vec{x}}+\hat{\vec{y}}+\hat{\vec{z}})
$$