矢量和张量的定义
两组正交归一的基矢, 可以由一个正交变换$\mathcal{R}$相互连接 (旋转/反射及其复合) . $\mathcal{R}$的矩阵是$R$, 矩阵元为$R_{ij}$.
规定$\mathcal{R}$的指向, 方便后续讨论. 如果$$A'_i = R_{ij} A_j$$ 构造"并矢", 每个分量为:
$$D_{ij} = A_iB_j$$ 这种就是张量
矢量的代数运算
Kronecker符号 和 Levi-Civita符号
我们从内积/外积两种最基本的运算开始:
为了化简混合积, 需要知晓这个等式:
先正着, 再交叉着
矢量的导数运算
defs
时谐物理量的周期平均值
单色波的矢量场, 用复数可以表示为: $$ \vec{A}(\vec{r}, t) = \tilde{\vec{A}}(\vec{r}) e^{-i\omega t} $$
实际测量的时候, 选取$\vec{A}(\vec{r}, t)$有物理意义的实数部分
$$ \vec{A}_{\text{物理}} = \operatorname{Re}\left[ \tilde{\vec{A}}(\vec{r}) e^{-i\omega t} \right] $$
此外还有二次的可测量量, 都可以还原为两类: 1. 矢量型（如坡印廷矢量）： $\vec{S} = \vec{A}_{\text{物理}} \times \vec{B}_{\text{物理}}$ 2. 标量型（如能量密度）： $w = \vec{A}_{\text{物理}} \cdot \vec{B}_{\text{物理}}$
步骤1：实部展开
$$ \operatorname{Re}(\tilde{\vec{A}}) = \frac{\tilde{\vec{A}} + \tilde{\vec{A}}^*}{2}, \quad \operatorname{Re}(\tilde{\vec{B}}) = \frac{\tilde{\vec{B}} + \tilde{\vec{B}}^*}{2} $$
步骤2：乘开
$$ \vec{S} = \frac{1}{4} \underbrace{\left[ \underset{\text{高频项 } (2\omega)}{\tilde{\vec{A}} \times \tilde{\vec{B}} e^{-i2\omega t} + \tilde{\vec{A}}^* \times \tilde{\vec{B}}^* e^{i2\omega t}} + \underbrace{\tilde{\vec{A}}^* \times \tilde{\vec{B}} + \tilde{\vec{A}} \times \tilde{\vec{B}}^*}_{\text{时不变项}} \right]}_{\text{四项交叉乘积}} $$
步骤3：周期平均
- 高频项积分归零： $\frac{1}{T}\int_0^T e^{\pm i2\omega t} dt = 0$
- 仅时不变项存活： $$ \langle \vec{S} \rangle_T = \frac{1}{4} \left\langle \tilde{\vec{A}}^* \times \tilde{\vec{B}} + \tilde{\vec{A}} \times \tilde{\vec{B}}^* \right\rangle = \frac{1}{2} \operatorname{Re} \left( \tilde{\vec{A}} \times \tilde{\vec{B}}^* \right) $$
| 物理量类型 | 周期平均公式 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 矢量型 | $\langle \vec{A} \times \vec{B} \rangle = \frac{1}{2} \operatorname{Re}(\tilde{\vec{A}} \times \tilde{\vec{B}}^*)$ | 能流密度的时间平均 |
| 标量型 | $\langle \vec{A} \cdot \vec{B} \rangle = \frac{1}{2} \operatorname{Re}(\tilde{\vec{A}} \cdot \tilde{\vec{B}}^*)$ | 能量密度的时间平均 |
微分
待定 由此可以推导出旋度 = $\nabla\times\vec{A}$
场点和源点
$\nabla r = \hat{\vec{r}}$
$$\begin{align} \nabla r & = (\vec{i}\partial_x +\vec{j}\partial_y +\vec{k}\partial_z) \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \\ & = \frac{(x-x')\vec{i}+(y-y')\vec{j}+(z-z')\vec{k}}{r}\\ & = \hat{\vec{r}} \end{align}$$
$\nabla' r = -\hat{\vec{r}}$
待定:
$\nabla\cdot\nabla \frac{1}{r}$
$\int^{}_{V} \nabla \cdot \frac{\vec{r}}{r^3}$
导数运算法则
待定 $$\begin{aligned} \nabla(\psi \varphi) & =\varphi \nabla \psi+\psi \nabla \varphi, \\ \nabla \cdot(\varphi \vec{A}) & =\nabla \varphi \cdot \vec{A}+\varphi \nabla \cdot \vec{A}, \\ \nabla \times(\varphi \vec{A}) & =\nabla \varphi \times \vec{A}+\varphi \nabla \times \vec{A} .\end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \nabla \cdot(\vec{A} \times \vec{B}) & =\nabla_A \cdot(\vec{A} \times \vec{B})+\nabla_B \cdot(\vec{A} \times \vec{B}) \\ & =\left(\nabla_A \times \vec{A}\right) \cdot \vec{B}-\nabla_B \cdot(\vec{B} \times \vec{A}) \\ &= (\nabla \times \vec{A})\cdot \vec{B} - (\nabla \times\vec{B})\cdot\vec{A}\end{aligned}$$
$\nabla$ 算符既有微分的性质, 也有矢量的性质. 可以先算完微分作用, 再按照矢量来算
1. 单次运算（无乘法组合）
(1) ∇作用于标量场（梯度）
$$\nabla \phi$$
证明：定义运算 $\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$，结果为矢量场。
(2) ∇作用于矢量场
散度（点乘）：
$$\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$
证明：由定义 $\nabla \cdot \mathbf{A} = \partial_i A_i$（爱因斯坦求和约定），结果为标量场。旋度（叉乘）：
$$\nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$
证明：由行列式计算，结果为矢量场。
2. 二次运算（∇与场组合后二次作用）
(3) 梯度的散度（拉普拉斯算子）
$$\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla^2 \phi$$
证明：
$$
\nabla \cdot (\nabla \phi) = \partial_i (\partial_i \phi) = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}
$$
结果为标量场（标量拉普拉斯）。
(4)标量场的梯度的旋度
首先判断结果是标量还是矢量. 标量场的梯度是矢量, 矢量的旋度是矢量. 所以结果是矢量. 接着, 按分量算. $$\begin{align} [\nabla \times (\nabla \varphi)]_i & =\varepsilon_{ijk} \partial_j \partial_k \varphi \\ & = \vec{0} \end{align}$$
(5)矢量场旋度的散度
首先, 矢量场的旋度是矢量场, 矢量场的散度是标量场. 接着, 整体一起算: $$\begin{align} \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) & = \partial_i (\varepsilon_{ijk} \partial_j A_k) \\ & = 0 \end{align}$$
(6)矢量场的旋度的旋度
首先, 矢量场的旋度是矢量场接着, 按分量计算, 注意$i$是固定的: $$\begin{align} [\nabla \times(\nabla \times \vec{A})]_i & = \varepsilon_{ijk} \partial_j (\nabla \times \vec{A})_k\\ & = \varepsilon_{kij} \partial_j \varepsilon_{klm} \partial_l A_m\\ & = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} )\partial_j \partial_l A_m \\ & = \partial_j \partial_i A_j - \partial_j\partial_j A_i \\ & = \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} \end{align}$$
3. 场与场的乘法组合后作用∇
(7) 标量场乘矢量场的散度
$$\nabla \cdot (\phi \mathbf{A}) = \phi (\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla \phi)$$
证明（乘积法则）：
标量场和矢量场的积是矢量场, 矢量场的梯度是标量场. 整体算:
$$ \begin{align} \nabla \cdot(\varphi \vec{A}) & = \partial_i(\varphi A_i)\\ & = (\partial_i\varphi)A_i \varphi \end{align} $$ 结果为 标量场 。
(8) 标量场乘矢量场的旋度
$$\nabla \times (\phi \mathbf{A}) = \phi (\nabla \times \mathbf{A}) + (\nabla \phi) \times \mathbf{A}$$
证明（分量法）：
$$
[\nabla \times (\phi \mathbf{A})]_i = \varepsilon_{ijk} \partial_j (\phi A_k) = \varepsilon_{ijk} [ (\partial_j \phi) A_k + \phi \partial_j A_k ] \\ = [(\nabla \phi) \times \mathbf{A}]_i + \phi [\nabla \times \mathbf{A}]_i
$$
结果为 矢量场。
(9) 矢量场点乘的梯度
$$\nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A})$$
证明（展开分量）：
$$
\partial_i (A_j B_j) = B_j \partial_i A_j + A_j \partial_i B_j \\ = [(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} + (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B})]_i
$$
结果为 矢量场。
(10) 矢量场叉乘的散度
$$\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$$
证明（标量三重积）：
$$\begin{align}
\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})
& = \partial_i (\varepsilon_{ijk} A_j B_k) = \varepsilon_{ijk} (\partial_i A_j) B_k + \varepsilon_{ijk} A_j (\partial_i B_k) \\
& = B_k (\varepsilon_{kij} \partial_i A_j) - A_j (\varepsilon_{jik} \partial_i B_k) \\
& = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})
\end{align}
$$
结果为 标量场。
(11) 矢量场叉乘的旋度
$$\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A})$$
证明（矢量恒等式）：
$$\begin{align}
[\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})]_i
&= \varepsilon_{ijk} \partial_j (\varepsilon_{klm} A_l B_m) \\
&= (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) \partial_j (A_l B_m) \\
& = \partial_j (A_i B_j) - \partial_j (A_j B_i) \\
& = B_j \partial_j A_i + A_i \partial_j B_j - A_j \partial_j B_i - B_i \partial_j A_j
\end{align}
$$
整理得右边形式，结果为 矢量场。
总结
| 算式类型 | 表达式 | 结果类型 |
|---|---|---|
| 梯度 | $\nabla \phi$ | 矢量场 |
| 散度 | $\nabla \cdot \mathbf{A}$ | 标量场 |
| 旋度 | $\nabla \times \mathbf{A}$ | 矢量场 |
| 梯度的散度 | $\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla^2 \phi$ | 标量场 |
| 梯度的旋度 | $\nabla \times (\nabla \phi) = \mathbf{0}$ | 零矢量 |
| 旋度的散度 | $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$ | 标量零 |
| 旋度的旋度 | $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}$ | 矢量场 |
| 标量乘矢量的散度 | $\nabla \cdot (\phi \mathbf{A}) = \phi \nabla\cdot\mathbf{A} + \mathbf{A}\cdot\nabla\phi$ | 标量场 |
| 标量乘矢量的旋度 | $\nabla \times (\phi \mathbf{A}) = \phi \nabla\times\mathbf{A} + \nabla\phi \times \mathbf{A}$ | 矢量场 |
| 矢量点乘的梯度 | $\nabla (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}) = (\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B} + \cdots$ | 矢量场 |
| 矢量叉乘的散度 | $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) - \mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$ | 标量场 |
| 矢量叉乘的旋度 | $\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A} - \cdots$ | 矢量场 |
复合函数
$u$是$x,y,z$的函数 $$\nabla f(u) = \nabla u \frac{df}{du}$$ $$\nabla f(u)=\vec{e_i} \partial_i f(u) = \vec{e_i}\partial_i u\frac{\partial f}{\partial u} = \nabla u \frac{df}{du}$$
$$\nabla \vec{A}(u) = $$
$$\begin{align} \nabla \cdot \vec{A}(u) & = \vec{e_i}\partial_i \cdot \vec{e_i}A_i (u) \\ & = \vec{e_i} \frac{\partial A_i}{\partial u}\cdot\vec{e_i} \partial_i u \\ & = \nabla u \cdot \frac{d\vec{A}}{du} \end{align}$$
$$\begin{align} \nabla \times \vec{A}(u) & =\vec{e_i} \varepsilon_{ijk}\partial_j A_k(u) \\ & = \vec{e_i}\varepsilon_{ijk} \partial_j u \frac{\partial A_k}{\partial u} \\ & = \nabla u \times \frac{d\vec{A}}{du} \end{align}$$
对于一般的正交曲线坐标系，假设沿着坐标 $\left(u_1, u_2, u_3\right)$ 增加方向的基矢量分别为 $\left(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\right)$ ，它们相互正交，并且基矢方向一般会随坐标的变化而改变。在正交曲线坐标系中，空间的线元矢量表示为
$$ \mathrm{d} \vec{\ell}=\mathrm{d} \ell_1 \vec{e}_1+\mathrm{d} \ell_2 \vec{e}_2+\mathrm{d} \ell_3 \vec{e}_3=h_1 \mathrm{~d} u_1 \vec{e}_1+h_2 \mathrm{~d} u_2 \vec{e}_2+h_3 \mathrm{~d} u_3 \vec{e}_3 . $$
上式中 $h_i$ 为坐标 $u_i$ 的标度系数 $(i=1,2,3)$ 。根据数学中的相关定义，在正交曲线坐标系中标量梯度、矢量场散度、矢量场旋度以及 Laplace 算符的一般作用形式分别为
$$ \begin{aligned} \nabla \varphi\left(u_1, u_2, u_3\right) & =\vec{e}_1 \frac{1}{h_1} \frac{\partial \varphi}{\partial u_1}+\vec{e}_2 \frac{1}{h_2} \frac{\partial \varphi}{\partial u_2}+\vec{e}_3 \frac{1}{h_3} \frac{\partial \varphi}{\partial u_3} \\ \nabla \cdot \vec{A}\left(u_1, u_2, u_3\right) & =\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[\frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2 h_3 A_1\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_3 h_1 A_2\right)+\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_1 h_2 A_3\right)\right] \\ \nabla \times \vec{A}\left(u_1, u_2, u_3\right) & =\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left|\begin{array}{lll} \vec{e}_1 h_1 & \vec{e}_2 h_2 & \vec{e}_3 h_3 \\ \frac{\partial}{\partial u_1} & \frac{\partial}{\partial u_2} & \frac{\partial}{\partial u_3} \\ h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{array}\right| \\ \nabla^2 \varphi\left(u_1, u_2, u_3\right) & =\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[\begin{array}{ll} \left.\frac{\partial}{\partial u_1}\left(\frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial}{\partial u_1}\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(\frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial}{\partial u_2}\right)+\frac{\partial}{\partial u_3}\left(\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial}{\partial u_3}\right)\right] \varphi . \end{array}\right. \end{aligned} $$
采用上述一般公式，亦可验证柱坐标系和球坐标系中各相关算符的作用形式。